Las matemáticas del juego:. Probabilidad, psicología y emoción...

Jul 07, 2023

Roberto Lentini

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Los creadores de juegos de casino explotan de manera experta la fascinación de la humanidad por los eventos de baja probabilidad y atormentan fantasías de "qué pasaría si". La emoción de lo desconocido ha encantado a menudo a la humanidad. A pesar de este atractivo, los casinos mantienen la ventaja de la casa, lo que lleva a cualquier matemático curioso a preguntarse por qué el casino siempre gana y dónde podemos descubrir los secretos para inclinar las probabilidades, si es posible, a nuestro favor. Desde lo cotidiano hasta lo extraordinario, la probabilidad revela la naturaleza enigmática de la suerte misma. La probabilidad gobierna nuestras vidas; Ya sea la probabilidad de compartir accidentalmente su elección de ropa con un amigo en una fiesta o la posibilidad de resbalar con una cáscara de plátano mientras camina por la calle, todo se puede explicar matemáticamente.

La atracción de eventos de baja probabilidad cautiva nuestra imaginación; se convierten en el centro de nuestras fantasías más salvajes, nuestros mayores miedos y nuestras excitaciones más inimaginables. Estos sucesos raros y trascendentales combinan los ámbitos de las matemáticas y la psicología. Este problema interdisciplinario se vuelve bastante complejo a medida que el comportamiento humano parece eclipsar la mera lógica. La combinación de interés humano, miedo y entusiasmo que surge de estos eventos de baja probabilidad incluso ha allanado el camino para industrias enteras como las de seguros y juegos de azar, que modelan sus negocios dando valor en dólares al azar.

A través de una exploración de la naturaleza cautivadora del juego, las complejidades de la probabilidad y la profunda influencia de la psicología humana en los juegos de azar, este artículo pretende descubrir los secretos detrás de la ventaja de la casa. Aclararé por qué el casino aparentemente siempre gana y, en última instancia, revelaré estrategias que podrían inclinar las probabilidades a nuestro favor, incluso frente a la complejidad estadística y la opacidad de los creadores de juegos.

Echemos un vistazo más de cerca a la obsesión humana por las bajas probabilidades en el contexto del juego. Para comprender mejor los juegos de azar y probabilidad básica, juguemos a un juego de apuestas sencillo que consiste en lanzar una moneda al aire. En este juego, lanzaré una moneda justa y, si sale cara, duplicaré tu dinero. Sin embargo, si sale cruz, me quedaré con el dinero que me diste.

Quizás te preguntes ¿cuánto dinero espero ganar jugando este juego? Bueno, resulta que en un número infinito de jugadas te encontrarás con la misma cantidad de dinero con la que empezaste [1].

Las ganancias esperadas de este juego son la probabilidad de ganar multiplicada por cuánto ganas menos la probabilidad de perder multiplicada por cuánto pierdes [1]. En este caso, si su apuesta inicial es 10$, es (0,5 * 10) - (0,5 * 10) = 0. Usted se marcha sin ganancias ni pérdidas. Las expectativas del juego garantizan que, a largo plazo, tus ganancias y pérdidas se equilibren y mantengas la misma cantidad con la que empezaste.

Imaginemos una variación de la clásica ruleta americana en la que eliminamos los números y nos centramos únicamente en 18 espacios rojos y 18 espacios negros. Al igual que en el juego de lanzar una moneda, apostar al color correcto garantiza que la apuesta se duplique. Inicialmente, esta configuración ofrece una probabilidad aparentemente justa del 50% de duplicar nuestro dinero. Si apostamos $100, las ganancias esperadas serían: (0,5 * $100) — (0,5 * $100) = $0. Al igual que en el ejemplo del lanzamiento de la moneda, a largo plazo, esperaríamos terminar con la misma cantidad con la que empezamos.

Sin embargo, los casinos no se dedican a ofrecer probabilidades que no les favorecen. Para garantizar la rentabilidad, la rueda de la ruleta introduce dos espacios verdes adicionales que estratégicamente inclinan las probabilidades a favor del casino. Esto también se conoce como ventaja de la casa. . Con estos espacios verdes en juego, las probabilidades de ganar al apostar al rojo o al negro pasan al 47,36%. En consecuencia, si apostamos $100 al negro en un gran número de jugadas, nuestro resultado esperado sería: (0,4737 * $100) - (0,5263 * $100) = -$5,26. Esto significa que efectivamente estaríamos intercambiando un billete de $100 por $94,74.

Si bien un jugador individual puede experimentar ganancias o pérdidas ocasionales en el gran esquema de las cosas, el casino siempre saldrá victorioso. Este ligero cambio en las probabilidades puede parecer insignificante, pero tiene un impacto lo suficientemente significativo en las ganancias generales del casino como para mantenerlos en funcionamiento.

Calcular las ganancias esperadas revela cómo los juegos de casino están diseñados para favorecer a la casa. La ventaja de este casino o "ventaja de la casa" es el factor que lleva a algunos a Gambler's Ruin, donde las pérdidas pueden agotar completamente los fondos.

Otro concepto crítico que a menudo elude a los ávidos jugadores es el de eventos independientes. En la mesa de ruleta, la creencia de que los resultados pasados ​​influyen en los futuros conduce a la falacia del jugador. . Ya sea que el negro haya acertado diez veces seguidas o no haya acertado en numerosos giros, las probabilidades de que acierte en el siguiente giro permanecen fijas en 47,37% debido a la independencia de cada evento. La confusión puede surgir de las emociones humanas que dominan la lógica y de una mala comprensión de la diferencia entre las probabilidades de múltiples resultados negros consecutivos y las probabilidades aisladas del siguiente giro. Es crucial comprender que el tablero no tiene memoria y que los sucesos pasados ​​no influyen sobre las probabilidades futuras, lo que garantiza que las probabilidades se mantengan sin cambios en el 47,35%.

Dejemos de lado las probabilidades de todo esto y observemos la psicología del juego. Considere dos opciones: la opción uno le garantiza $10 con un 100% de posibilidades, mientras que la opción dos presenta un 80% de posibilidades de recibir $12,5. Aunque estas opciones pueden parecer distintas, la similitud subyacente radica en las ganancias esperadas. El valor esperado para la opción dos, calculado como 0,8 * $12,5–0,2 * $0, también es igual a $10. Si bien la posibilidad de ganar $2,5 adicionales puede parecer tentadora, el factor diferenciador clave aquí son las posibilidades percibidas de perder dinero, lo que resalta el aspecto psicológico de la toma de decisiones en el juego.

Examinemos otro escenario comparable. En la primera opción, se le ofrecen 10$ garantizados, mientras que la segunda opción implica una probabilidad de tan solo el 0,1% de ganar 10.000$. Sorprendentemente, las ganancias esperadas para ambas opciones siguen siendo iguales en $10. Sin embargo, a pesar de la equivalencia estadística, la psicología en juego resulta intrigante. Es posible que el premio de $10 no tenga un impacto significativo en comparación con la emoción de la oportunidad de $10,000. La tolerancia al riesgo y la emoción de una victoria potencialmente colosal entran en la ecuación.

Echemos un vistazo al sistema de lotería Lotto Max. La forma en que funciona este sistema es que eliges 7 números en un boleto; cuantos más números aciertes, más dinero ganarás. Aquí está el desglose de precios de un sorteo reciente:

Las ganancias esperadas se calculan de la siguiente manera:

Valor esperado = (Probabilidad de ganar el Jackpot * Monto del Jackpot) + (Probabilidad de ganar 6 de 7 números + Bono * Monto de 6/7 + Bono) + (Probabilidad de ganar 6 de 7 números * Monto de 6/7 ) + (Probabilidad de ganar 5 de 7 números + Bono * Importe de 5/7 + Bono) + (Probabilidad de ganar 5 de 7 números * Importe de 5/7) + (Probabilidad de ganar 4 de 7 números + Bono * Importe de 4/7 + Bono) + (Probabilidad de ganar 4 de 7 números * Importe de 4/7) + (Probabilidad de ganar 3 de 7 números + Bono * Importe de 3/7 + Bono) + ( Probabilidad de ganar 3 de 7 números * Importe de 3/7) + (Probabilidad de ganar un Free Play * Importe de Free Play)

Introduciendo los valores:

Valor esperado ≈ (1/33.294.800 * $70.000.000) + (1/4.756.400 * $317.035,90)+ (1/113.248 * $4.603,00) + (1/37.749 * $912,70) + (1/1.841 * $105,80) + (1/ 1.105 * $105,80) + (1/82,9 * $20,00) + (1/82,9 * $20,00) + (1/8,5 * $5,00)

Esto nos da un valor esperado de aproximadamente $3,46 por boleto, que se vende a $5 con un margen de aproximadamente 31%. Este margen hace que nuestro juego alternativo de $10 con una probabilidad del 100% o $10.000 con una probabilidad del 0,1% parezca realmente notable. Las probabilidades en la mesa de la ruleta también parecen más favorables, con una pérdida promedio de sólo $5,26 en una apuesta de $100, en contraste con la pérdida de $17,78 en billetes de lotería por valor de $100. Es fascinante observar que las personas pueden optar por una decisión menos favorable y con menores probabilidades, atraídas por la promesa de una suma significativamente mayor a pesar de su valor disminuido.

Este fenómeno se adentra en el ámbito de la psicología, yendo más allá de la mera estadística. Varios factores podrían contribuir a este comportamiento, como la percepción de menor riesgo al gastar menos en un billete de lotería en comparación con unirse a la mesa de la ruleta. Además, el atractivo de las altas recompensas, como fantasear con ganar 70 millones de dólares, puede eclipsar la perspectiva de duplicar unos modestos 5 dólares mediante una apuesta de mayor probabilidad.

Los problemas que hemos abordado hasta ahora han sido relativamente sencillos debido a la falta de “variables de distracción” o ruido. Cuando volvemos a mirar los ejemplos del lanzamiento de moneda, la ruleta y la lotería, cada evento es independiente entre sí, ganar/perder una vez no garantiza otra ganancia/pérdida. Además, existen factores mínimos que afectan a cada giro, por lo que podemos asumir que cada giro tiene la misma probabilidad de experimentar un determinado evento.

Sin embargo, las suposiciones previas que podemos hacer en los juegos de azar se vuelven mucho más complejas cuando profundizamos en el mundo de las apuestas deportivas. Las dificultades que surgen al calcular las ganancias esperadas en las apuestas deportivas se deben a su dependencia del desempeño humano y hay muchos factores que pueden influir en esto. Por ejemplo, el desempeño pasado de un jugador puede ofrecer información sobre desempeños futuros, pero elementos externos como lesiones o problemas personales pueden afectar sus juegos. Los juegos deportivos tampoco son independientes entre sí: las derrotas consecutivas pueden llevar a una mentalidad perdedora que potencialmente puede aumentar las probabilidades de otra pérdida. Todos estos factores deben considerarse para cada jugador de cualquier equipo, lo que hace que calcular las probabilidades sea una tarea muy difícil.

En el contexto de la ruleta, la casa obtiene su ventaja gracias a los espacios verdes adicionales marcados con 0 y 00 que inclinan las probabilidades a favor del casino. Sin embargo, en las apuestas deportivas, donde abundan las incertidumbres y las dependencias, las empresas de apuestas implementan varias estrategias para mantener un mercado de apuestas equilibrado y asegurar la rentabilidad.

Por ejemplo, en un partido de hockey en el que el equipo que queda en último lugar se enfrenta al equipo que ocupa el primer lugar, la empresa de apuestas se enfrenta al desafío de crear un equilibrio. Designan al equipo que ocupa el primer lugar como el gran favorito, lo que genera menos ganancias potenciales para el jugador. Por otro lado, establecen una recompensa potencial más alta para el equipo que ocupa el último lugar para atraer posibles apuestas sobre el perdedor. La compañía de apuestas se basa en el comportamiento de los apostadores, esperando que muchos individuos apuesten por el perdedor esperando un pago sustancial en caso de una sorpresa, conocido como el sesgo improbable. . Pero incluso si un apostador apuesta constantemente por el equipo favorito, una sola pérdida podría requerir muchas más victorias apostando al equipo favorito para recuperar el dinero perdido debido a las pequeñas ganancias incrementales obtenidas en tales escenarios.

Las mejores probabilidades que tienes de ganar en los juegos de azar serían jugar juegos basados ​​en habilidades que se combinen con la suerte, y las apuestas deportivas son una de las mejores opciones. Los desafíos que dificultan que un individuo reduzca el ruido en las apuestas deportivas son los mismos que tiene la compañía de apuestas, de ahí que cobren tarifas y modifiquen los pagos para mantener la ventaja de la casa. Pero hay muy buenas formas de ganar dinero con apuestas deportivas mediante una cobertura.estrategia.

La cobertura es una estrategia de gestión de riesgos que prioriza la reducción de pérdidas potenciales y al mismo tiempo sacrifica algunas ganancias potenciales. Si bien este enfoque puede generar ganancias menores en una sola apuesta, proporciona resultados más consistentes y seguros con el tiempo. La esencia de la cobertura radica en realizar una apuesta opuesta a su apuesta inicial.

Consideremos cubrir una apuesta futura. Imagínese que al comienzo de la temporada hizo una apuesta a que el Equipo A ganaría el Super Bowl. Realizas una apuesta de $100 con probabilidades de +500 (5 a 1), lo que significa que puedes ganar $500 si el Equipo A sale victorioso. Ahora ha llegado la final de los playoffs y tu equipo tiene posibilidades de ganar. Para salvaguardar su inversión, puede realizar una apuesta de cobertura de $100 en el Equipo B con probabilidades de +300. Si el equipo B gana, recibirás $300, lo que compensará la pérdida inicial de $100 del equipo A. Por otro lado, si el equipo A gana, perderás la apuesta de cobertura de $100 pero aún obtendrás una ganancia de $400 de la apuesta original.

En la cobertura en juego, la estrategia implica ajustar las apuestas durante un juego para adaptarse a las circunstancias cambiantes. Un ejemplo notable es la estrategia de apuestas "media" en el hockey. Suponga que inicialmente apuesta a los Toronto Maple Leafs (+2,5) en su partido fuera de casa contra los Montreal Canadiens, lo que significa que espera que los Leafs ganen directamente o pierdan por dos goles o menos. Entre el segundo y el tercer período, con los Maple Leafs con una ventaja de 3-1 y Montreal favorecido por 1,5 goles en el tercer período, se puede ejecutar la estrategia intermedia. Realizar una nueva apuesta a Montreal (-1,5) durante el segundo intermedio crea una zona media donde ambas apuestas pueden ganar. Si los Leafs mantienen su ventaja o ganan, su apuesta original a Toronto (+2,5) tiene éxito, mientras que la segunda apuesta a Montreal (-1,5) pierde. Si los Maple Leafs pierden por un gol, su apuesta original pierde, pero la segunda apuesta gana, lo que resulta en una ganancia para ambas apuestas. Sin embargo, si los Leafs pierden por dos goles, ambas apuestas perderán. Esta estrategia sirve como cobertura en caso de que la ventaja de los Leafs se pierda, ofreciendo la oportunidad de ganar con la apuesta de Montreal y, al mismo tiempo, maximizando sus ganancias si la predicción inicial se cumple.

La tentación de los resultados inciertos cautiva nuestra imaginación y nos atrae con sueños de grandes victorias. Sin embargo, la ventaja de la casa y las tácticas de las compañías de apuestas garantizan que mantengan la ventaja. Los juegos de azar y probabilidad tienen valores vinculados que hacen que algunos sean mucho mejores que otros y, al mismo tiempo, garantizan que la casa gane en general. Si bien la cobertura en las apuestas deportivas puede reducir el riesgo y es probablemente una de las mejores formas de ganar dinero jugando, es fundamental recordar que, al final, las probabilidades están diseñadas para favorecer a la casa.

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[1] P: Si duplicas tu apuesta cada vez que pierdes, ¿al final no ganarás y saldrás ganando? Pregúntale a un matemático / Pregúntale a un físico. (2018, 7 de abril). https://www.askamathematician.com/2018/04/q-if-you-double-your-bet-every-time-you-lose-wont-you-eventually-win-and-come-ahead/

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